【XR-4】题 题解

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说一个不一样的方法，来自Mr_Wu

由 $y^{2}-x^{2}=ax+b \ (a,b,x,y\in\N)$,

变形可得 $x^{2}+ax+b=y^{2}$.

显然，$x^{2}+ax+b$ 是完全平方数。

此时构造式子 $x^{2}+2px+p^{2}\ (p\in\N)$，使得 $p$ 是满足 $2p\le a$ 且 $p^{2}\le b$ 的数中最大的。

显然，$\forall x\in\N,\ x^{2}+2px+p^{2}\le x^{2}+ax+b$.

同理，构造式子 $x^{2}+2qx+q^{2}\ (q\in\N)$，使得 $q$ 是满足 $2q\ge a$ 且 $q^{2}\ge b$ 的数中最小的。

显然，$\forall x\in\N,\ x^{2}+2qx+q^{2}\ge x^{2}+ax+b$.

设 $y^2=(x+r)^2$，即 $x^{2}+ax+b=(x+r)^2$.

$\because$ $(x+p)^2\le(x+r)^2\le(x+q)^2$

$\therefore p\le r\le q$

此时 $x=\dfrac{r^2-b}{a-2r}$.

又因为 $x$ 为整数，所以只需要解出所有 $r$ 对应的 $x$，判断其是否是整数，如果是，就是合法解。

值得注意的是，如果 $x^{2}+ax+b$ 是完全平方式，输出 $\inf$ 即可。